که در آن  عناصر ماتریس دو قطبی الکتریکی بوده و  میدانهای تحریک کننده اتم میباشند که در تقریب دو قطبی عبارتاند از:
(۲-۴)
(۲-۵)
حال با بهره گرفتن از روابط (۱-۶۴)، (۱-۷۴)، (۲-۱)، (۲-۲)، (۲-۳)، (۲-۴)، (۲-۵) معادله شرودینگر (۷۴-۱) به صورت زیر بدست میآید:

(۲-۶)
با مقایسه طرفین معادله (۶-۲) معادلات حرکت  بدست میآید:
(۲-۷)
(۲-۸)
(۲-۹)
فاز عناصر ماتریسی به فرم  هستند. این فازها در زمان همدوسی میدان‌های لیزری در یک موقعیت معین، ثابت میمانند. قدر مطلق ثابت آنها غیرقابل کنترل است و معمولا یکی از آنها میتواند در زمان اولیه، صفر فرض شود. فاز دوم نمیتواند به طور مشابه انتخاب گردد، مگر اینکه هر دو میدان فرکانس یکسانی داشته و از میدان لیزری یکسانی به دست آمده باشند. یعنی حالت‌های  تبهگن باشند در ادامه با ساده کردن معادلات (۲-۷)، (۲-۸)، (۲-۹) و معرفی فرکانس‌های رابی به فرم:
(۲-۱۰)
(۲-۱۱)
معادلات حرکت عبارتند از:
(۲-۱۲)

(۲-۱۳)
(۲-۱۴)
با ساده کردن معادلات و چشم پوشی از جملات  و  به دلیل تقریب موج چرخان روابط زیر بدست میآید:
(۲-۱۵)
(۲-۱۶)
(۲-۱۷)
ازاین روابط در بخش۲-۵ برای محاسبه هامیلتونی موثر در سیستم سه ترازی، استفاده خواهد شد.

۲-۲ انتقال جمعیت
یکی از اهداف تحریک لیزری، انتقال جمعیت]۸[ از یک حالت اولیه به حالت نهایی دلخواه است. فرایند رامان، روشی برای انتقال جمعیت به حالت نهایی توسط دو پالس لیزری را فراهم میکند. در این روش میدان پمپ دارای فرکانس معین، در مرحله اول تحریکی را تولید میکند که در پی آن برای ایجاد گذار نهایی، نشر خودبه خودی وجود دارد. از حالت تحریکی گروه‌های گسیل زیادی رخ میدهند که هر یک میدان استوکس مربوط به خود را دارند. احتمال نسبی مربوط به یک گذار معین، به توابع موج دو حالت بستگی دارد. چون فرایند رامان بر پایه نشر خودبه‌خودی قرار دارد، امکان ایجاد برهم نهی همدوس را فراهم نمیکند و چون حالت‌های نهایی ممکن زیادی وجود دارند، رسیدن به انتقال جمعیت مقبول به هر یک از حالت‌ها، ممکن نیست. با بهره گرفتن از میدان لیزری دوم، فرایند رامان دو مرحلهای شامل تحریک و واپاشی میتواند سریع‌تر و انتخابی‌تر باشد. میدان دوم، (مستقل از طول موجش) میدان استوکس نام دارد. استفاده از دو میدان لیزر تحریکی، انتقال جمعیت به یک حالت نهایی دلخواه را توسط کم کردن رقابت گسیل خودبه خودی ممکن میسازد. طرح  گونه مربوط به فرایند رامان، یک زنجیره تحریکی سه حالته میباشد. ساده ترین طرح انتقال جمعیت توسط یک زنجیر، استفاده از تحریک تشدیدی با فرکانس های رابی برابری است که وابستگی زمانی ندارند. بدین ترتیب جمعیت از حالت اولیه به ترکیبی از حالت‌های موجود در زنجیر جاری میگردد و این انتقال جمعیت در یک سیستم سه حالته میتواند نوسان‌های رابیای تولید کند که تمام جمعیت را به طور دوره‌ای در حالت نهایی جای دهند. در ترتیب پالسی شهودی، ابتدا پالس پمپ^[۳۳] و سپس پالس استوکس^[۳۴] به سیستم تحمیل میشود. در مرحله اول، انتقال کامل جمعیت به حالت تحریکی، توسط میدانP القا میشود و در مرحله دوم، جمعیت حالت تحریکی‌، توسط میدان S به حالت هدف منتقل می‌گردد. انتقال جمعیت توسط تحریک همدوس]۲۲[، یک اشکال عمده دارد و آن این است که پالس ها باید کل جمعیت را در یک حالت میانی که از آن گسیل خودبه خودی رخ میدهد، جای دهند و بدین ترتیب اتلاف غیر مطلوب جمعیت اتفاق میافتد. پس تحریک همدوس، روندی را فراهم میکند که در آن هیچ جمعیتی در حالت میانی باقی نمیماند.
۲-۳ تغییر تاخیر پالسی:
با بهره گرفتن از فاصله زمانی کنترل شده بین پالس های  ضمن ثابت نگه داشتن فرکانس ها و برقراری شرط تشدید دو فوتونی، میتوان به نتیجه واضحی دست یافت. نتیجه حاصل از یک پرتو مولکولی که با زاویه قائمه از داخل پرتوهای لیزری عبور میکند در شکل۲-۲ نشان داده شده است. توسط تغییر موقعیت فیزیکی پرتوهای لیزری  تاخیر زمانی مورد نیاز بدست میآید. در این آزمایش، یک میدان لیزری کمکی برای جاروب انتقال جمعیت نهایی، به کار رفته است. هر گاه میدان  جلوتر از میدان  قرار داشته باشد، هیچ تاثیری در دینامیک سیستم ندارد و انتقال جمعیت، به وسیله تحریکی که نشر خود به خودی در پی دارد، صورت می‌گیرد. هرگاه میدان  از میدان  پیشی میگیرد، هر جمعیتی که توسط میدان  تولید میشود، توسط میدان  برمیگردد ولی انتقال جمعیت بیشینه، زمانی اتفاق میافتد که میدان  جلوتر بوده و با میدان  برهم نهی‌ داشته باشد. این طرح، شاخص واضحی از استیرپ]۲۳[ میباشد.

شکل۲-۲: بازده انتقال جمعیت بر حسب تاخیر زمانی بین پالسهای پمپ و استوکس.
۲-۴ استیرپ
روش گذار بی‌دررو تحریک رامان]۲۴[، برای انتقال کامل جمعیت از یک حالت اولیه  به حالت هدف  توسط حالت میانی  ، از همدوسی میدان‌های دو لیزر پالسی به صورت شکل۲-۳ استفاده میکند. درمدل  گونه، حالت های  و  ، حالت پایه و  حالت تحریکی است.

شکل۲-۳: اندرکنش میدان پمپ و استوکس در اتم سه ترازی.
در این روش به جای استفاده از ترتیب پالس شهودی (پالس پمپ جلوتر از پالس استوکس)، از ترتیب پالس غیر شهودی (پالس استوکس جلوتر از پالس پمپ)، استفاده میشود. پس انتقال کامل جمعیت بین حالتهای  و  ، بدون جمعیت دار کردن حالت  زمانی رخ میدهد که شرط تشدید دو فوتونی برقرار بوده، دو پالس برهم نهی کافی داشته باشند و برای برقراری تحول زمانی بیدررو، پالس‌ها به قدر کافی قوی باشند. حال برای محاسبه هامیلتونی موثر سیستم، از معادلات (۵-۲)، (۱۶-۲)، (۱۷-۲) شروع کرده و برای اتم سه ترازی با یک طرح جفت شده با پالس های پمپ و استوکس در تقریب موج چرخان خواهیم داشت:
(۲-۱۸)
پس با توجه به رابطه (۱-۱۱۱) میتوان نوشت:
(۲-۱۹)
با بهره گرفتن از تبدیل یکانی زیر:
(۲-۲۰)
و رابطه(۱-۱۱۸)، هامیلتونی موثر سیستم بدین صورت بدست میآید:
(۲-۲۱)
با جابه جایی مبدا انرژی به اندازه  و تعریف نامیزانی ها به صورت زیر:
(۲-۲۲)
خواهیم داشت:
(۲-۲۳)
در شرط تشدید دو فوتونی  ، که یک شرط تشدید ضروری برای فرایند استیرپ کسری است]۱۴[، هامیلتونی موثر به صورت زیر میباشد:
(۲-۲۴)
بدین ترتیب، ویژه مقادیر لحظهای مربوط به  به این صورت به دست میآیند:
(۲-۲۵)