پس نهایتا در دستگاه مختصات کلی(x-y-z)، قانون تعمیم یافته هوک برای رابطه بین تنش-کرنش ماکرو و عکس آن بصورت زیر خواهد بود:
(۳-۱۴)
(۳-۱۵)
که ماتریس انتقال یافتۀ ثابتهای الاستیک معادل و نیز عکس آن بوده و بصورت زیر تعریف میگردند:
(۳-۱۶)
(۳-۱۷)
این دو ماتریس در حالت کلی دارای ۱۳ درایۀ مستقل میباشند:
(۳-۱۸)
(۳-۱۹)
۳-۳- ارتباط بین تنشها و کرنشهای ماکروسکوپیک و میکروسکوپیک
در قسمت قبل، معادله مشخصه تنش-کرنش ماکرو در مختصات کلی بصورت و بدستآمد و ملاحظه شد که همان ماتریس سختی سلول واحد است که محاسبه آن، هدف این قسمت از تحقیق میباشد. اما برای یافتن مولفههای مجهول (و بطور مشابه، مولفههای مجهول ) ضروریست که بردارهای تنش و کرنش ماکرو در دوسوی معادلات مشخصه فوق معلوم باشند.
برای نیل به این هدف سه گام زیر به ترتیب صورت میگیرد:
مدل سلول واحد تحت بارگذاری و شرایط مرزی مشخص، شبکهبندی و تحلیل میشود؛ تنشها و کرنشهای میکروی کلی در گرههای شبکهها توسط نرمافزار اجزاء محدود محاسبه میشود؛ آنگاه اگر بردارهای تنش و کرنش ماکروسکوپیک کلی را با و و بردارهای تنش و کرنش میکروسکوپیک کلی را با و نشان دهیم، رابطه بین آنها که از میانگینگیری مولفههای میکرو روی حجم کل سلول واحد حاصل میشود، به صورت زیر خواهد بود:
(۳-۲۰)
(۳-۲۱)
که V حجم سلول واحد می باشد. اما محاسبه تنش و کرنش میکروسکوپیک بدون شرایط مرزی امکان پذیر نمیباشد. شرایط مرزی باید با دقت زیاد و با توجه به رفتار سلول واحد در ماده کامپوزیت استخراج گردد. این شرایط مرزی باید تا آنجائیکه امکان دارد رفتار سلول واحد در ماده کامپوزیت را شبیه سازی کند. هرچه رفتار سلول واحد (با شرایط مرزی درنظر گرفته شده) مشابهت بیشتری با رفتار سلول واحد در ماده کامپوزیت داشته باشد، تحلیل مکانیکی دقیقتری انجام خواهد شد. با توجه به پیچیدگی های رفتاری سلول واحد، عموماً دو شرط مرزی همگن[۹۳] تنش یکنواخت و کرنش یکنواخت درنظر گرفته می شود.
الف) شرط مرزی تنش یکنواخت[۹۴]: در این شرط مرزی، تانسور تنش روی مرزهای سلول واحد یکنواخت فرض میشود. به عبارتی:
(۳-۲۲)
که تانسور تنش یکنواخت روی مرزهای سلول واحد، بردار یکه عمود بر هرکدام از سطوح ششگانه سلول واحد و بردار تِرَکشِن تنش روی سطوح میباشد. شیوه کار بدین ترتیب است که شش مولفه مستقل از هم تانسور تنش به نوبت، برابر یک قرار می گیرند و هرکدام روی یکی از سطوح ششگانه سلول واحد که منجر به ایجاد بردار تِرَکشِن غیر صفر گردد، اعمال میشوند. لذا براساس رابطه (۳-۱۵)، مولفههای ماتریس از حل شش معادله و شش مجهول بدست میآیند.
ب) شرط مرزی کرنش یکنواخت[۹۵]: اما برای اعمال شرط مرزی کرنش یکنواخت، بایستی سطوح مرزی سلول را تحت جابجایی یکنواخت قرار داد. یعنی مثلا برای داشتن کرنش مرزی یکنواخت (در حالت کرنش یکنواخت، مقادیر ماکرو و میکروی آن باهم برابرند) باید مقدار جابجایی روی کلیه سطوح مرزی را برابر درنظر گرفت تا مبتنی بر رابطه کرنش-جابجایی به کرنش مطلوب دست یافت. یا مثلا برای کرنش مرزی یکنواخت ، بایستی مبتنی بر رابطه جابجاییهای و روی مرزها لحاظ شوند. در هر دفعه که یکی از شش کرنش کلی، برابر مقدار یکنواخت ۰.۰۰۱ و بقیه کرنشها برابر ۰ قرار داده میشوند، شش معادله بدست میآید که از رهگذر آنها و براساس رابطه (۳-۱۴)، شش مولفه ستونی ماتریس حاصل میشوند. اگر ابعاد و مشخصات سلول واحد دقیق انتخاب شدهباشد انتظار میرود که هر دو شرط مرزی نتایج یکسانی را بدست دهند.
۳-۴- مدل المان محدودِ سلول واحد
همانگونه که گفته شد، سلول واحد کوچکترین جزء تکرارشونده در یک الگوی دوبعدی یا سهبعدی است. مدلسازی سلول واحد در برخی الگوها که وضعیتی ساده دارند براحتی صورت میگیرد اما هرچقدر پیچیدگیها، غیریکنواختیها، ناهمسانیها و ناهمگنیها افزایش یابد انجام این امر نیز با مشکلات و دردسرهای بیشتری روبرو میشود.
چندلایههای دوخته شده NCF نیز از آندستهای اند که در این مورد، دقت و حوصله زیادی را میطلبند. در مشاهدات تجربی این چندلایهها، سه ناحیه عمده تشخیص داده شده است: فایبرهای درون صفحهای و آغشته به رزین، نخ دوخت رزینکاری شده که در راستای ضخامت و روی لایهها رد میشود و حفرههای پر از رزین حول نخ دوخت که در طی عملیات دوخت حاصل شدهاند. شکل این حفرهها متاثر از پارامترهای متعددی مثل قطر نخ دوخت، الگوی دوخت و زاویه دوخت میباشد. مثلا در زاویه ۴۵درجه این حفرهها غالبا دارای شکلی نزدیک بیضی یا لوزیاند که قطر بزرگشان در جهت فایبر درون صفحهای قرار دارد]۲۱[. اما برای زوایای صفر و ۹۰ درجه این حفرهها بشکل کانالهای سرتاسری درمیآیند]۶[.
شکل ۳-۲- کوچکترین جزء تکرارشونده در چندلایه دوخته شده شامل الیاف درون صفحهای (که در اینجا در جهت ۴۵- درجه قرار دارند)، نخهای دوخت رد شده روی لایهها و حفرههای لوزی شکل حاوی رزین]۱۹[
شکل ۳-۳- کوچکترین جزء تکرارشونده در چندلایه دوخته شده شامل الیاف درون صفحهای در زوایای ۰ و ۹۰ درجه و کانالهای سرتاسری حاوی رزین]۲۵[
برای بدست آوردن مولفههای ماتریس سختی متناظر با چهار زاویه ۰، ۹۰، ۴۵، ۴۵- چهار سلول واحد در نرمافزار، مدل و مورد تحلیل قرار گرفتهاست. پارامترها و شرایط هندسی مدل که از بررسی میکروگراف حاصل شده در جدول ۳-۱- آورده شدهاست.
جدول ۳-۱- کمیت و کیفیت هندسی مدل نرمافزاری سلول واحد
Material | Item |
Modified Lock Stitch | Stitching pattern |
۲.۶۲ mm | Stitch diameter |
۵۰.۹(x-dir) | Stitch spacing (S) |