(۲-۴۰)
که در روابط بالا جرم کابل بر واحد طول می باشد.
از دو معادله قبل و (۲-۳۷) می توان به این نتایج رسید که زاویه حمله به صورت زیر میباشد:
(۲-۴۱) ( )
(۲-۴۲)
(۲-۴۳)
که در روابط بالا را برای ساده سازی به صورت تقریب زده خواهد شد. علاوه بر این و برای اشکال پیچیده را می توان از رابطه زیر به دست آورد ( ضریب جمله اول بسط فوریه بر حسب می باشد).
(۲-۴۴)
با جایگذاری معادلات (۲-۳۶)، (۲-۳۸) تا (۲-۴۴) در معادله (۲-۳۱) می توان نشان داد که:
(۲-۴۵) = -
در نتیجه بردار بار آیرودینامیکی به صورت زیر به دست می آید:
(۲-۴۶)
که درایه های بردار F به دست خواهند آمد.
پس از ساده سازی معادلات (۲-۱۷)، (۲-۳۰) و (۲-۴۵) و جایگذاری در معادله (۲-۱۵)، معادله نهایی برای حالت ۶ درجه آزادی به صورت زیر به دست می آید:
(۲-۴۷)
که ماتریس سختی به صورت زیر می باشد:
(۲-۴۸)
در رابطه بالا ، و بلوکهای ۳*۳ هستند.
معادلات تعادل دینامیکی سیستم از حالت تعادل استاتیکی می باشند که به صورت فشرده شده ۳ درجه آزادی به دست آمده اند را می توان اینگونه نوشت
(۲-۴۹)
که در رابطه بالا:
(۲-۵۰) =
۲-۲ انرژی جنبشی و ماتریس جرم سیستم
انرژی جنبشی کل مربوط به نوسانات کابل با صرف نظر کردن از نوسانات کابل در راستای محور X از رابطه زیر به دست می آید:
(۲-۵۱) T=
چشم پوشی از نوسانات افقی کابل در مقایسه با نوسانات کابل در دو جهت دیگر اولا فرض قابل قبولی است و با مشاهدات آزمایشگاهی سازگاری دارد. ثانیا با بهره گرفتن از این فرض خواهیم دید که معادلات حرکت تا حد زیادی ساده می شوند و کارهای بعدی روی این معادلات راحت تر می گردد. باتوجه به روابط (۲-۲) و (۲-۳) عبارت بالا را می توان ساده کرد.
(۲-۵۲) =
(۲-۵۳)
(۲-۵۴)
می توان بردار را از انتگرال داخل کروشه در رابطه (۲-۵۱) بیرون آورد زیرا این بردار روی سطح تغییر نمی کند. بنابراین انرژی جنبشی کل را به صورت زیر می توان بیان کرد:
(۲-۵۵) T=
که در روابط بالا:
(۲-۵۶) m =
(۲-۵۷) =
(۲-۵۸) =
(۲-۵۹) =
همچنین با بهره گرفتن از روابط (۲-۴) تا (۲-۷) عبارت به دست آمده برای انرژی جنبشی در رابطه (۴-۵۵) را میتوان به صورت زیر نوشت:
(۲-۶۰) T =
بنابراین اگر بردار مختصات تعمیم یافته را به شکل زیر بیان کنیم:
(۲-۶۱) =
انرژی جنبشی کل را به صورت زیر می توان بیان کرد:
(۲-۶۲) T=
که در رابطه فوق ماتریس سه بعدی است که همه درایه های آن صفر می باشد.
که درایه های ماتریس با رابطه زیر بیان میشوند:
(۲-۶۳)
که ماتریس با رابطه زیر بیان می شود:
(۲-۶۴)
۲-۳ ماترس سختی
برای به دست آوردن ماتریس سختی سیستم از جملات انرژی پتانسیل سیستم کمک میگیریم. با توجه به کرنش لاگرانژی و پیچشی داریم:
(۲-۶۵)
(۲-۶۶)
(۲-۶۷)
که در این روابط برابر با است.
ابتدا نقش جمله اول عبارت (۲-۲۹) را در ماتریس در رابطه (۲-۳۰) به دست می آوریم:
(۲-۶۸) =
برای آن که را بتوان به شکل
(۲-۶۹) =
نگاهی به پایان نامه های انجام شده درباره : بررسی پدیده گالوپینگ به روش المان محدود- فایل ۴