(۳-۱۴)
به منظور محاسبه‏ی فشار داخلی که منجر به شکل‏دهی لوله می‏شود، محاسبه‏ی ضخامت در محل بالج لوله (باتوجه به شکل (۳-۲)، نقطه‏ی P) ضروری است.
همانطور که در قبل اشاره شد بر اساس تئوری پوسته‏های استوانه‏ای جدار نازک می‏توان از تنش در جهت ضخامت صرف نظر کرد، لذا تنش موثر مطابق رابطه (۳-۵) بدست می‏آید. به منظور تحلیل فرایند بالج آزاد لوله، با قرار دادن تکیه‏گاه دو طرف لوله از جریان ماده در جهت طولی ممانعت می‏گردد که تعریف کننده‏ی شرایط مرزی در راستای طولی لوله خواهد بود. در چنین شرایطی تنشی که منجر به بالج لوله می‏شود همان تنش موثر از رابطه‏ی (۳-۵) است در صورتی که طبق شرایط مرزی ذکر شده تغییر فرم لوله در راستای طولی صفر در نظرگرفته می‏شود (= ۰). بنابراین در رابطه کلی ++= ۰ اگر مقدار (=۰) قرار گیرد رابطه‏ی زیر بدست می‏آید.

(۳-۱۵)
به زبان ساده این رابطه مبین این است که با مهار دو سر لوله به عنوان شرایط مرزی طولی، تغییر فرم ناشی از تنش موثر تنها در جهات ضخامت و محیطی لوله صورت می‏گیرد.
در رابطه‌ی (۳-۱۶) محاسبه‌ی ضخامت در محل بالج آورده شده است ]۲۶[.
= (۳-۱۶)
باتوجه به معادله‏ی تعادل (۳-۱)، با جایگذاری روابط (۳-۱۰) و (۳-۱۱) در معادلات (۳-۶) و (۳-۷)، شعاع‏های محیطی و انحنای لوله که در معادله‏ی تعادل مورد استفاده قرار می‏گیرد، بدست می‏آید.
زمانیکه فشار داخلی منجر به بالج لوله می‌شود، به منظور محاسبه‌ی فشار داخلی، تحلیل بر روی نقطه‌ی برآمدگی (p) اهمیت پیدا می‏کند. با آگاهی بر این موضوع مقادیر شعاع محیطی لوله و شعاع انحنای لوله در نقطه‌ی حساس(p) به صورت زیر تغییر پیدا می‏کند. ]۸[
(۳-۱۷)
(۳-۱۸)
با جایگذاری مقادیر ضخامت در محل بالج لوله ( )، شعاع‌های محیطی و انحنای لوله و تنش‌های محیطی و طولی لوله در معادله‌ی تعادل، مقدار فشار داخلی سیال جهت شکل‌دهی لوله‌ی مذکور ]۸[ به صورت زیر بدست می‌آید.
(۳-۱۹)
(۳-۲۰)
ارتفاع بالج لوله تغییر شکل یافته از رابطه (۳-۲۱) بدست می‏آید.
(۳-۲۱)
منحنی که در این پروژه تحلیل می‌شود، فشار-ارتفاع بالج می‌باشد که هر کدام از این دو فاکتور از فرمول (۳-۱۹) و (۳-۲۱) بدست می‌آید.
شکل ۳-۳ بالج لوله در فشارهای مختلف
شکل (۳-۳) نمایی از لوله‏ی تغییر شکل یافته در فشارهای مختلف را نشان می‏دهد. همانظور که مشاهده می‏شود با افزایش فشار، مقدار بالج لوله افزایش پیدا می‏کند.
۳-۳ حل تحلیلی فرایند بالج آزاد گرم لوله
همانطور که از قبل اشاره شد باتوجه به شکل (۳-۲)، نقطه‌ی e محل درگیری لوله و قالب مورد نظر می‏باشد. در این روابط با تغییر زاویه‏ی e ()، به عنوان ورودی‏ترین پارامتر فرایند، تحلیل روابط و استخراج نمودارهای مربوطه صورت می‏گیرد.
روش کار بدین صورت است که ابتدا یک نقطه‌ی شروع برای زاویه تماس در نظر گرفته می‏شود.() سپس با دانستن مقادیرشعاع خارجی لوله، شعاع گوشه قالب، طول محل بالج، روابط (۳-۸) تا (۳-۱۱) برای زاویه‏ی تماس حل می‏شود. پس از اینکه به کمک معادله‏ی (۳-۱۰)، شعاع محیطی لوله در نقطه‌ی برآمدگی برای زاویه‌ی خاص بدست آورده شد ()، مقدار مذکور به همراه شعاع خارجی و ضخامت لوله‌ی دلخواه، در رابطه‌ی (۳-۱۶) قرار داده می‏شود تا ضخامت در نقطه‌ی برآمدگی بدست آید.
در جهت محاسبه‏ی رابطه‏ی (۳-۱۹) برای رسیدن به فشار داخلی، مشخص کردن مقدار کرنش موثر برای زاویه‌ی تماسی خاص لازم است. لذا با جایگذاری مقادیر ضخامت لوله، ضخامت در محل بالج لوله، شعاع محیطی در نقطه‌ی P () و در نهایت شعاع خارجی لوله در رابطه‏ی (۳-۳) کرنش‌های محیطی و ضخامتی لوله بدست می‌آید. در ادامه با جایگذاری مقادیر مذکور در رابطه‏ی (۳-۴)، کرنش موثر برای زاویه‏ی تماس بدست می‌آید.
در پایان با در دست داشتن مقادیر توان کار سختی و ضریب استحکام به همراه فاکتورهای ذکر شده در بالا و جایگزاری این مقادیر در رابطه‌ی (۳-۱۹)، فشار داخلی برای زاویه‏ی تماس بدست می‌آید. به همین ترتیب برای زوایای باقیمانده، فشار داخلی جهت شکل‏دهی، محاسبه می‏شود.
بدیهی است که تعیین فشار داخلی به کمک محاسبات دستی جدا از مسئله‏ی زمان‏بر بودنش، از دقت پایین‏تری برخوردار است، لذا با برگرداندن روابط فوق به زبان برنامه‏نویسی متلب، تحلیل فشار موردنیاز فرایند جهت شکل‏دهی و استخراج نمودارهای حاصل از آن صورت می‏گیرد.
۳-۳-۱ برنامه‏نویسی در نرم افزار متلب
در بخش ۳-۲ معادلات تئوریک برای فرایند بالج‏ آزاد لوله آورده شد که با تکیه بر این روابط می‏توان تحلیل عددی بر روی لوله‏ی بالج شده انجام داد. اما همانطور که در قبل اشاره شد، محاسبات و آنالیز عددی به روش دستی جدا از زمان بر بودن کار، امکان خطای محاسباتی را به شدت بالا می‏برد لذا پس از فهم روابط و کلیه‏ی معادلات مرتبط با فرایند بالج آزاد لوله، به زبان برنامه‏نویسی نرم افزار محاسباتی متلب در آورده که حدالامکان بتوان از میزان خطا حین محاسبات کاسته و آنالیز معتبری صورت گیرد.
در پیوست (ب) کدهای استفاده شده در نرم افزار متلب جهت حل تحلیلی فرایند بالج آزاد گرم لوله آورده شده است.
۳-۴ منحنی تنش-کرنش آلیاژ Al6063
باتوجه به رابطه‌ی (۳-۱۹) بدست آوردن مقادیر توان کار سختی و ضریب استحکام که از خصوصیات جنسی آلیاژ مذکور می‏باشد، لازم می‏باشد.
برای اینکار با مراجعه به مقاله‌ی ]۲۵[ ، منحنی تنش-کرنش برای دماهای ۲۰، ۱۵۰ و ۲۵۰ استخراخ می‌شود.
شکل‌ (۳-۴) رفتار تغییر شکل پلاستیک آلومینیوم ۶۰۶۳ که در دماهای مذکور تحت تست کشش قرار گرفته است را نشان می‏دهد.
شکل ۳-۴ منحنی تنش-کرنش آلیاژ Al6063
برا ی استخراج دقیق رفتار پلاستیکی Al6063 از منحنی فوق از نرم افزار Get data استفاده شده است. با تزریق منحنی مربوط به Al6063 برای دماهای ۲۰، ۱۵۰ و ۲۵۰ به نرم افزار Get data، جدولی حاوی رفتار پلاستیکی ماده (تنش-کرنش) بدست آورده که در ادامه در رسیدن به فاکتورهای مهم توان کارسختی و ضریب استحکام مورد استفاده قرار می‏گیرد.
در نرم افزار Get data پس از ست کردن محور x و محور y بر روی منحنی فوق، مطابق شکل (۳-۵) مینیمم و ماکزیمم مقدار محور x و y وارد می‏شود.
شکل ۳-۵ ست کردن مقادیر ماکزیمم و مینیمم منحنی تنش-کرنش در نرم افزار Get Data
در نهایت با انتخاب نقاط حساس روی منحنی مربوط به آلیاژ Al6063 در دماهای مذکور، استخراج مقادیر تنش-کرنش صورت می‏گیرد.
۳-۴-۱ تعیین ضرایب استحکام و توان کارسختی‌ در دماهای مختلف
ابتدا به منظور تعیین توان کار سختی n و ضریب استحکام k در دمای محیط (۲۰) ، رفتار تغییر شکل پلاستیک آلیاژ Al6063 در این دما مورد بررسی قرار می‏گیرد.
بدین منظور پس از انتقال منحنی مربوطه به نرم افزار Get data و نقطه گذاری بر روی منحنی مطابق شکل (۳-۶)، جدولی حاوی مقادیر تنش-کرنش در دمای ۲۰ بدست می‌آید.
شکل ۳-۶ انتخاب نقاط تنش-کرنش آلیاژ Al6063 در دمای ۲۰
شکل (۳-۷) مقادیر تنش-کرنش آلیاژ Al6063 در دمای ۲۰ را نشان می‏دهدکه از نرم افزار Get data استخراج شده است. ستون x مقادیر کرنش و ستون y مقادیر تنش را نشان می‌دهد.

شکل ۳-۷ مقادیر تنش-کرنش آلیاژ Al6063 در دمای ۲۰
بدین ترتیب مقادیر تنش-کرنش آلیاژ Al6063 برای دماهای مورد آزمایش به مانند قبل بدست می‏آید.
شکل ۳-۸ انتخاب نقاط تنش-کرنش آلیاژ Al6063 در دمای ۱۵۰
شکل (۳-۹) مقادیر بدست آمده از نرم افزار Get data را در دمای ۱۵۰ درجه سلسیوس نشان می‌دهد.

شکل ۳-۹ مقادیر تنش-کرنش آلیاژ Al6063 در دمای ۱۵۰
در نهایت با تزریق منحنی رفتار پلاستیکی آلیاژ Al6063 برای دمای ۲۵۰ به نرم افزار Get data، مقادیر تنش-کرنش مطابق شکل ( ۳-۱۱) استخراج می‏شود.
شکل ۳-۱۰ انتخاب نقاط تنش-کرنش آلیاژ Al6063 در دمای ۲۵۰