برای سهولت کار، فرض می کنیم که نور قطبیده خطی است و اندیس های تانسور را نیز بر می داریم. ماهیت تانسوری در بخش بعد، بطور صریح مورد بحث قرار می گیرد. قطبش کل ماده با رابطه زیر توصیف می شود: (۱-۸۱) که پذیرفتاری موثر زیر را معرفی کرده ایم: (۱-۸۲) برای ارتباط دادن پذیرفتاری غیر خطی به ضریب شکست غیر خطی ، فرض می کنیم که رابطه زیر معمولاً برقرار است: (۱-۸۳) و با وارد کردن معادله () در طرف چپ ومعادله ( ۱) در طرف راست این معادله می­یابیم که: (۱-۸۴) بسط این معادله با حذف جملات مرتبه بالا تر از می شود . نشان می دهد که ضریب شکست های خطی و غیر خطی با روابط (۱-۸۵) و (۱-۸۶) به پذیرفتارهای خطی وغیر خطی مرتبط می شوند. در بحثی که در بالا ارئه شد و همان طور که شکل (۱-۱ الف) نشان می دهد صریحا فرض شده است که ضریب شکست با بهره گرفتن از باریکه لیزر تک بسامد اندازه گیری می شود. روش دیگر اندازه گیری ضریب شکست وابسته به شدت، همان طور که شکل( ۱-۱ ب ) نشان می دهد، استفاده از دو باریکه مجزا است. در اینجا، حضور باریکه قوی با دامنه منجر به تصحیح در ضریب شکست موج جاروب ضعیف با دامنه می شود. شکل(۱-۱ الف): استفاده از یک باریکه برای اندازه گیری ضریب شکست وابسته به شدت شکل(۱-۱ ب): استفاده از دو باریکه مجزا برای اندازه گیری ضریب شکست وابسته به شدت فصل دوم تعریف دوپایایی مقدمه در بعضی از سیستم­های نوری خاص برای یک میدان اعمالی به سیستم، دارای بیش از یک میدان خروجی می­باشند. دوپایایی نوری اشاره به وضعیتی دارد که در آن دو شدت میدان خروجی متفاوت برای یک شدت میدان ورودی مشخص ممکن می­ شود و عبارت چند پایایی نوری برای توصیف وضعیتی به کار می رود که در آن دو یا چند میدان خروجی پایدار ممکن می شود. توجه به دوپایایی نوری از کاربرد بالقوه آن به عنوان سوئیچ زنی برای استفاده در ارتباطات و محاسبات نوری ناشی می­ شود. دوپایایی نوری اولین بار به طور نظری توسط شوک[۲] وهمکارانش( ۱۹۶۹) تشریح گردید و به طور تجربی توسط گیبس[۳] و همکارانش (۱۹۷۶) مشاهده شد[۸]. ۲-۱ ابزار نوری و شرایط مرزی ابزار نوری که در آزمایش های دوپایایی استفاده می شود، شامل یک محیط غیرخطی که در داخل مشدد فابری-پرو قرار گرفته است. چنین وسیله­ای بطور ترسیمی در تصویر(۲-۱) نشان داده شده است.[۹] شکل(۲-۱): طرحی از یک محیط غیرخطی که در داخل مشدد فابری- پرو با توجه به شکل دامنه میدان موج ورودی، دامنه میدان موج باز تابیده و و دامنه امواجی هستند که در داخل تداخل سنج به سمت جلو وعقب منتشر می شوند و دامنه موج عبوری از مشدد را نشان می دهد. آینه های مشدد، یکسان وبدون ناهمواری هستند و با ضریب باز تابش و ضریب عبوری که با شدت باز تابش R و شدت عبور T با رابطه زیر مربوط می شوند (۲-۱) و فرض شده اند. و برای آنها داریم (۲-۲) میدان های ورودی وداخل مشدد با شرایط مرزی به شکل زیر به هم مرتبط می شوند (۲-۳) (۲-۴) فرض کرده ایم که دامنه های میدان در سطح داخلی آینه سمت چپ اندازه گیری می شوند. ثابت انتشار وضریب جذب شدت را کمیت های حقیقی در نظر گرفته ایم که هر دو قسمت خطی و غیر خطی را شامل می­شوند. در نوشتن معادله(۲-۴) بصورتی که نشان داده شده است، تقریب میدان متوسط را بکار برده ایم، یعنی فرض کرده ایم که کمیت های و از نظر فضایی ناوردا هستند. در غیر اینصورت باید نما با عوض شود. بصورت جبری معادلات(۲-۳) و (۲-۴) را با حذف می­توان حل کرد. که در نتیجه داریم (۲-۵) این معادله، معادله ایری[۴] نامیده می شود و توصیف کننده ویژگی های تداخل سنج فابری– پرو است. اگر یا (یا هر دو ) تقریبا توابعی غیرخطی از شدت نور داخل تداخل سنج باشند، این معادله دوپایایی را در شدت موج عبوری انتظار داریم. درحالت کلی، هم و هم می توانند رفتار غیرخطی را از خود نشان دهند. اما با بررسی حالتهای حدی که تنها دارای سهم جذبی ویا تنها دارای سهم پاشنده هستند، به درک بهتری از ماهیت دوپایایی نوری میرسیم. ۲-۲ دوپایایی جذبی: ابتدا به بررسی موردی می پردازیم که در آن تنها ضریب جذب بستگی غیر خطی به شدت میدان ورودی دارد، پس بزرگی بردار موج ثابت فرض می­ شود. برای ساده سازی، فرض می­کنیم که فاصله جدایی دو آینه طوری تنظیم شده است که مشدد با میدان اعمال شده تشدید می شود. با این فرض، ضریب که در مخرج معادله (۲- ۵) ظاهر می شود برابر با کمیت حقیقی می­ شود. همچنین فرض می کنیم که تا بتوانیم از تغییر فضایی شدت میدان داخل مشدد که کاربرد تقریب میدان متوسط را توجیه می­نماید، صرفنظر کنیم. تحت این شرایط، معادله ایری(۲- ۵) به صورت زیر تبدیل می یابد (۲-۶) با رابطه که شدت های مختلف را به هم مرتبط می­سازد، معادله مشابه (۲- ۶) بدست می­آوریم (۲-۷) پارامتر بدون بعد که عدد مشارکت نامیده می شود به صورت زیر معرفی می­کنیم: (۲-۸) چون معادله (۲- ۷) به صورت زیر در می آید (۲-۹) فرض میکنیم که ضریب جذب به شدت نور داخل تداخل سنج بستگی دارد که در نتیجه مقدار پارامتر به شدت نور داخل تداخل سنج بستگی دارد. دوپایایی نتیجه­ای از جذب اشباعی است. جذب اشباعی یک مثال از فرایند غیر پارامتری نوری غیر خطی است. این ویژگی در بسیاری از مواد که ضریب جذبشان هنگام استفاده از شدتهای لیزری بالا، کاهش می یابد، دیده می شود. برای سادگی کار، فرض می کنیم ضریب جذب از رابطه ای که برای جاذب اشباعی دو اتمی معتبر است پیروی کند، یعنی (۲-۱۰) که در آن ضریب جذب غیر اشباعی، شدت مکانی و شدت اشباع است. برای سهولت کار، از ماهیت موج ایستاده میدان داخل تداخل سنج صرف نظر می کنیم و را برابر میگیریم. چشم پوشی از اثرات موج ایستاده فقط برای تداخل سنج شکل(۲-۱) تقریباً معتبر است. اما برای تداخل سنج موج رونده که در شکل (۲-۲) نشان داده شده است دقیقاً معتبر است. با این فرض که ضریب جذب طبق معادله (۲-۱۰) با ، به شدت میدان­های داخلی بستگی دارد، پارامتر می­ شود: (۲-۱۱) که . رابطه بین و را که با معادله (۲-۹) بیان می شود، با وارد کردن پارامتر بصورت زیر در می ­آید: (۲-۱۲)