یکی ازمهم‌ترین مشخصه‌ های سیستم‌های کوانتومی نسبت به حالت کپه‌ای ماده، وجود زیرنوارها در نوار رسانش وظرفیت بوده که از محدودیت کوانتومی بر تحرک حامل‌ها ناشی می‌شود.گذار بین این زیرنوارها در نقطه‌های کوانتومی، سبب تغییر ثابت دی‌الکتریک محیط می‌شود واین به نوبه‌ی خود ضریب شکست و ضریب جذب ماده را به طور قابل توجهی تغییر می‌دهد.این پدیده به خصوص در شدت‌های بالا قابل توجه می‌شود.
در این فصل سعی می‌کنیم با بهره‌گیری از قوانین حاکم بر مکانیک کوانتوم، پذیرفتاری‌‌های خطی و غیرخطی را با بهره گرفتن از ماتریس چگالی به‌دست آوریم وسپس به کمک آن‌ ها تغییرات ضریب شکست و ضریب جذب نوری مربوط به گذار بین زیرنوارها را در یک نقطه کوانتومی محاسبه نماییم.

ماتریس چگالی

برای بررسی خصوصیات نوری خطی و غیرخطی نقطه‌ی کوانتومی از فرمالیسم ماتریس چگالی استفاده می‌کنیم. برای این کار ابتدا ماتریس چگالی را تعریف نموده،سپس تحول زمانی آن مطالعه می‌شود.

فرض کنید سیستم در حالت فیزیکیباشد. تحول زمانی این حالت با معادله‌ی شرودینگر وابسته به زمان به این صورت توصیف می‌شود:
(۴-۱)
در حضور میدان الکترومغناطیسی ، هامیلتونی به صورت زیر در می‌آید:
(۴-۲)
کههامیلتونی مختل نشده الکترون در نقطه کوانتومی ، بار الکترون و جمله‌ی دوم، انرژی برهم‌کنش الکترون با میدان خارجیاست که در راستای محور z فرض شده است.
را می‌توان برحسب مجموعه‌ی کامل ویژه حالت‌های بهنجار و متعامد به صورت زیر بسط داد :
(۴-۳)
که دامنه‌ی احتمال یافتن سیستم در لحظه‌یدر ویژه حالت -ام می‌باشد.
حال عناصر ماتریسی عملگر چگالی به این صورت تعریف می‌شوند:
(۴-۴)
و بنابرین، مقدار چشم‌داشتی هر عملگری را می‌توانبه طور مستقیم به‌ وسیله‌ی ماتریس چگالی به‌دست آورد:
(۴-۵)
که عناصر ماتریسی عملگر در پایه‌های است ونماد است.
علاوه ‌براین، برای بررسی تحول زمانی مقدار متوسط یک مشاهده‌پذیر فقط کافی است که تحول زمانی ماتریس چگالی رامحاسبه کرد. بدین منظور، با گرفتن مشتق زمانی از رابطه‌ی
(۴-۴) خواهیم داشت:
(۴-۶)
با توجه به معادله‌‌های (۴-۱) و (۴-۳) می‌توان نوشت:
(۴-۷)
(۴-۸)
با قرار دادن رابطه‌ی فوق در معادله‌ی (۴-۶)، تحول زمانی ماتریس چگالی به صورت:
(۴-۹)
به‌دست می‌آید. این رابطه، تحول زمانی و یا معادله‌ی حرکت ماتریس چگالی در حضور برهم‌کنش الکترون با میدان خارجی را نمایش می‌دهد. اما، برخی برهم‌کنش‌ها (مانند برهم‌کنش الکترون-فونون، الکترون-الکترون و غیره) وجود دارند، به طوری که نمی‌توان آن‌ ها را به راحتی در هامیلتونی وارد نمود. چنین برهم‌کنش‌هایی قادر به تغییر حالت سیستم‌اند. بنابراین، با افزودن یک جمله‌ی میرایی^[۲۱] به معادله‌ی بالا اثرات این برهم‌کنش‌ها را به شکل زیر در فرمول‌بندی وارد می‌کنیم :
(۴-۱۰)
عملگر چگالی مختل نشده، {,} رابطه‌ی پاد جابه‌جایی در مکانیک کوانتومی و عملگر واهلش^[۲۲] ناشی از برهم‌کنش الکترون-الکترون، الکترون-فونون و غیره است.

حل معادله‌ی تحول زمانی ماتریس چگالی با بهره گرفتن از روش اختلال

در بخش قبل تحول زمانی ماتریس چگالی را استخراج نمودیم. در حالت کلی برای اغلب سیستم‌های فیزیکی نمی‌توان این معادله را به طور دقیق حل کرد. بنابراین، تلاش می‌کنیم تا به کمک روش‌های اختلالی جواب‌های معادله (۴-۱۰) را به‌دست آوریم.
با توجه به روابط (۴-۲) و (۴-۱۰) می‌توان نوشت:
(۴-۱۱)
به کمک معادله‌ی ویژه مقداری برای هامیلتونی مختل‌نشده جمله اول و سوم در سمت راست رابطه‌ی (۴-۱۱) را می‌توان به شکل زیر ساده کرد:
(۴-۱۲)
و
(۴-۱۳)
با قرار دادن روابط (۴-۱۲) و (۴-۱۳) در معادله‌ی (۴-۱۱) نتیجه‌ی زیر حاصل می‌شود:
(۴-۱۴)
که، فرکانس گذار بین ترازهای انرژی و آهنگ واهلش^[۲۳] بوده و فرض می‌کنیم که باشد. با توجه به این که در غیاب میدان الکترومغناطیسی خارجی، سیستم در حالت تعادل است، همدوسی بین ترازهای مختلف وجود نداشته ولی جمعیت ترازها می‌تواند مخالف با صفر باشد. بنابراین، می‌توان نوشت:
(۴-۱۵)
حل تحلیلی معادله‌ی (۴-۱۴) برای اغلب مسائل فیزیکی امکان پذیر نیست. بنابراین، از روش اختلال برای یافتن جواب‌های آن استفاده می‌کنیم. بدین منظور، پارامتر را که معرف بزرگی اختلال بوده و مقدار آن بین صفر و یک است، تعریف نموده و انرژی برهم‌کنش را با جایگزین می‌نماییم. مقدار متناظر با حالت واقعی سیستم می‌باشد. حال، عناصر ماتریس چگالی را می‌توان برحسب یک سری توانی از پارامتر به شکل زیر بسط داد.
(۴-۱۶)
معادله‌ی بالا به سرعت هم‌گرا بوده و بنابراین چهار جمله‌ی اول بسط کافی می‌باشد. این رابطه زمانی قابل قبول است که به ازای هر مقدار ، در معادله‌ی (۴-۱۴)‌ صدق کند. بنابراین، بایستی ضرایب هر توانی از به طور جداگانه رابطه‌ی (۴-۱۴) را ارضا نماید. بدین ترتیب، مجموعه‌ی معادلات زیر به‌دست می آید:
(۴-۱۸)
حال با کمک تغییر متغیر زیر:
(۴-۱۹)
مشتق زمانی بر حسب به شکل:
(۴-۲۰)
حاصل می‌شود. با جایگذاری رابطه‌ی (۴-۲۰) در معادله‌ی (۴-۱۸) نتیجه‌ی زیر به‌دست
می آید:
(۴-۲۱)