(۳-۲۷)
دراین معادله  مربوط به یک ذره و  مربوط به ذره دیگر است.
برهم­کنش زوجیتی در هسته باعث ایجاد یک شکاف آشکار در طیف انرژی سیستم در نزدیکی حالت پایه می­ شود. جمله دوم معادله (۳-۲۷) یک جمله آشنا در فیزیک حالت جامد است. این جمله مشابه جمله هامیلتونی زوج الکترون­ها یا به عبارت دیگر جفت کوپر در پدیده ابررسانایی است ]۲۹[.
۳-۵ محاسبه ویژه مقادیر هامیلتونی
در این بخش ما می­خواهیم هامیلتونی معادله (۳-۲۷) را حل کنیم و ویژه مقادیر آن را محاسبه کنیم. برای این کار ما ایده­های اصلی نظریه ابررسانایی را حفظ می­کنیم. اما برای ساده­سازی محاسبات ریاضی فرض می­کنیم که برهم­کنش زوجیتی بسته به اینکه اعداد کوانتومی  و  متعلق به زیر مجموعه اعداد کوانتومی مجموعه  باشند یا نه، دارای مقادیر  یا صفر هستند.  را قدرت برهم­کنش می­نامیم. به عنوان مثال در پدیده ابررسانایی برهم­کنش جفت الکترون­ها (جفت کوپر) تنها برای الکترون­های نزدیک به انرژی فرمی موثر است ]۲۹[. بدین ترتیب هامیلتونی معادله (۳-۲۷) به صورت زیر نوشته می­ شود:

(۳-۲۸)
در ادامه ما می­خواهیم تعداد ذرات ، چگالی تراز و سایر کمیات ترمودینامیکی را محاسبه نماییم برای این منظور باید وابستگی هامیلتونی به تعداد ذرات را در نظر بگیریم. بدین ترتیب برای حل معادله (۳-۲۸) بهتر است هامیلتونی جدیدی به فرم زیر در نظر بگیریم:
(۳-۲۹)
در معادله (۳-۲۹)  ضریب لاگرانژ است که آن را در پایان تعیین می­کنیم.  نیز تعداد ذرات است که فرم عملگری آن به صورت زیر است:
(۳-۳۰)
بدین ترتیب هامیلتونی (۳-۲۸) به فرم زیر در می ­آید:
(۳-۳۱)
مطابق آنچه در نظریه­ های چند ذره­ای متداول است اکنون هامیلتونی (۳-۳۱) را بر اساس سری جدیدی از عملگرهای خلق ونابودی بازنویسی می­کنیم. بدین ترتیب این هامیلتونی از فرم هامیلتونی ذرات برهم­کنش­کننده به فرم شبه ذرات بدون برهم­کنش تغییر می­ کند. پس ما برای  و  عملگرهای خلق ونابودی را به صورت زیر تعریف می­کنیم ]۳۷-۳۹[.
(۳-۳۲)
در معادله (۳-۳۲)  و  اعداد حقیقی هستند.
با بهره گرفتن از معادله(۳-۱۱) برای فرمیون­ها می­توان نشان داد:
(۳-۳۳)
و با بهره گرفتن از روابط پادجابجایی برای عملگرهای جدید می­توان نشان داد:
(۳-۳۴)
برای اینکه تبدیلات شبه ذره را در معادله هامیلتونی (۳-۳۱) استفاده کنیم ابتدا باید تبدیلات معکوس معادله (۳-۳۲) را محاسبه کنیم. با انجام محاسبات خواهیم داشت:
(۳-۳۵)
(۳-۳۶)  مزدوج مختلط دو معادله (۳-۳۵) و (۳-۳۶) به شرح زیر است:
(۳-۳۷)
(۳-۳۸)
اکنون روابط (۳-۳۵) ، (۳-۳۶) ، (۳-۳۷) و(۳-۳۸) را در معادله هامیلتونی (۳-۳۱) قرار می­دهیم. با حفظ جملات قطری ]۲۹[ خواهیم داشت:
(۳-۳۹)
که در آن  و  اعداد اشغال شبه ذرات هستند. همچنین  پارامتر گاف^[۲۲] می­باشد. این پارامتر میزان همبستگی جفت شدن را اندازه ­گیری می­ کند و فرم ریاضی آن به صورت زیر است:
(۳-۴۰)
اکنون برای محاسبه انرژی، باید مقادیر  و  را بیابیم که هامیلتونی به ازای مقادیر آن کمینه شود. بدین ترتیب:
(۳-۴۱)
با مشتق گیری از هامیلتونی خواهیم داشت:
(۳-۴۲)
اکنون با بهره گرفتن از معادله (۳-۴۰) و انجام محاسبات لازم خواهیم داشت]۹[:
(۳-۴۳)
(۳-۴۴)
همچنین با جایگذاری معادلات (۳-۴۳) و (۳-۴۴) در معادله (۳-۴۰) خواهیم داشت:
(۳-۴۵)
در نتیجه با حذف  از طرفین معادله خواهیم داشت:
(۳-۴۶)  به معادله (۳-۴۶) معادله گاف گفته می­ شود.
و در پایان با جایگذاری معادلات (۳-۴۳) و (۳-۴۴) در معادله (۳-۴۰) شکل نهایی هامیلتونی قطری شده را بدست می­آوریم:
(۲-۴۷)
اکنون معادله گاف را جایگذاری می­کنیم:
(۳-۴۸)
را به صورت زیر تعریف کنیم:
(۳-۴۹)
بدین ترتیب خواهیم داشت:
(۳-۵۰)
معادله (۳-۵۰) هامیلتونی سیستم مورد نظر است.
فصل چهار